級數趣談,從高斯求和說起,帶給我們是不僅僅是思索

級數趣談,從高斯求和說起,帶給我們是不僅僅是思索

在建築工地上堆積了許多圓木條,從側面看去它們堆積成一個三角形的樣子。最頂層只有一根,第二層只有二根,第三層只有三根,……。

你想要知道這堆木料究意有多少條圓木?於是你開始計算:一、二、三、……。

可是這樣計算並不太快,而且容易錯誤。為了能較準確和迅速得到堆積木條的總數,我們介紹一個古代中國和希臘勞動人民所知道的一個方法。但在還沒講這方法之前,請聽一個著名的德國天文、物理和數學家的故事。

高斯(1777-1855),德國著名數學家,被譽為"數學王子",不僅是最偉大的數學家之一,而且還是那個時代最偉大的物理學家和天文學家之一.1843年,高斯的光學巨著《光的折射研究》出版,書中首次提出了光的焦距、焦面和焦點等概念.

高斯被公認為是19世紀最偉大的數學家,與阿基米德、牛頓並稱為歷史上三個最偉大的數學家。人們曾形容高斯為"能從九雷雲外的高度按照某種觀點掌握星空和深奧數學的天才"

據說高斯2歲時就發現父親賬簿上的一處錯誤,9歲時用對稱的方法快速計算出1到100的整數的和.高斯在晚年常幽默地宣稱:在他會說話之前就會計算.

1796年是高斯的奇蹟年.3月30日,離19歲還差一個月的高斯給出了正十七邊形可以用尺規作圖的證明,發現了它與費馬素數之間的聯繫,這一問題的證明不僅震撼了數學界,也震撼了高斯自己的心靈,從此他決心獻身數學。

"你,大自然

我的女神

我要為你的規律而獻身。"

形如

(p為正整數)

的和稱為自然數冪和,也稱為p階自然數冪和.探究低階自然數冪和的公式,歷史上的數學家的智慧為我們提供了很好的借鑒.

1801年,年僅24歲的高斯出版了《算術探索》,開啟了現代數論研究的新紀元,被譽為"數論的憲章"。

卓越的計算能力、嚴密的邏輯推理、完美的實驗、有創造力的直覺,這正是高斯出類拔萃的原因。

高斯在物理學方面最引人注目的成績就是在1833年與物理學家韋伯一起發明了有線電報。

高斯曾說:

"數學是科學的皇后,而數論是數學的皇后."

"數論提供給我們一座用之不竭的寶庫,儲滿了有趣的真理,這些真理不是孤立的,而是最緊密地相互聯繫著."

"任何一個花過一點功夫研習數論的人,必然會感受到一種特別的激情與狂熱。"

"物質的滿足是多餘的,靈魂的滿足是一種更高的境界。至於我把數學應用到幾塊泥巴組成的星球,或應用到純粹數學的問題上,這一點並不重要,但後者常常帶給我更大的滿足."

F.克萊因曾評價高斯說:"如果我們把18世紀的數學家想像為一系列的高山峻岭,那麼最後一個使人肅然起敬的巔峰便是高斯;如果把19世紀的數學家想像為一條條江河,那麼其源頭就是高斯。"

例1.計算:1+2+3+…+n.

解析:思路1:就n的奇偶性討論,可利用高斯求和的對稱思想計算。

思路2:設S=1+2+3+…+n,又S=n+n-1+…+1,

思路3藉助圖形的直觀性,形象而直觀。

數學一開始就是研究"數"和"形"的,從古希臘時期起,人們就試圖把它們統一起來。2400年前的希臘數學家畢達哥拉斯稱這樣的數1,1+2,1 +2+3,1+2+3+4,等等為三角數(Triangular number)。他和門徒用1個圓球代表1,並且把三角數用下面的圖形表示:

一般我們用Sn來表示1+2+3+…+n的值。現在要知道Sn的數目,我們可以設想有另外一個Sn(這裡用白圓球來表示),把它倒放,並和原來的Sn靠攏拼合起來;我們就得到一個菱形(圖二,這裡n是等於4的情形),總共有n行,每一行有n+1個圓球,所以全部有n(n+1)個圓球。這是兩個Sn,因此一個Sn應該是n(n+1)÷2。

無獨有偶,中國人也是用這方法找出Sn的值。宋朝數學家楊輝,他考慮由草束堆成的尖垛,頂層是一束,從上到下逐層增加一束,如果知道底層的束數,就可以算出全部草束的總數。他提出的一個問題是:"今有圭垛草一堆,頂上一束,底闊八束。問共幾束?答:36束。"他的計算方法和以上的說明是一樣的。

畢達哥拉斯和門徒們發現了三角數的一個性質:任意兩個連續三角數的和是一個平方數。用圖形表示是:

我國著名數學家華羅庚曾說:"數缺形時少直觀,形少數時難入微。"

讀者可以用公式對以上的性質給出證明。

很容易聯想到的一個問題:是否

也能找到簡單公式來算它們的和?

據說那個在澡堂里發現了"浮力定律"而忘記自己仍舊是赤身露體奔跑在街道上高喊著"Eureka!Eureka!"(我已發現了!我已發現了!)的希臘科學家阿基米德(Archimedes,公元前287—公元前212)早已知道這兩個和的公式是:

可是在阿基米德以後的希臘數學家想要知道

的和的公式,卻是無能為力。這個和的公式要在1000年後11世紀的阿拉伯數學家Alhean時才知道。我們問一個問題:對於任何m≥3,是否有一般的公式表示

的和呢?在1636年法國數學家費馬(P.Fermat)興高采烈的給朋友寫了一封信:"我已解決了在算術中可以算是最漂亮的一個問題。"他所講的問題就是上面問的問題。

左邊的式子是可以展開寫成

中國數學家很早就認識了等差級數,在中國最早的數學書《周髀算經》里談到"七衡"(日月運行的圓周)的直徑以19833里100步×2遞增,這就是等差級數。

約在公元1世紀成書的中國重要數學著作《九章算術》在《衰分》和《均輸》二章里的問題和等差級數有關。

在5世紀末南北朝的張丘建在他著的《張丘建算經》就有三個問題是等差級數的問題:

[題一]今有女子善織布,逐日所織的布以仝數遞增,已知第一日織五尺,經一月共織39丈,問逐日增多少?

[題二]今有女子不善織布,逐日所織的布以仝數遞減,已知第一日織五尺,末一日織一尺,計織30日。問共織布多少。

答:9丈。

[題三]今有某君以錢贈給許多人,先第一人給三錢,第二人給四錢,第三人給五錢,繼續依次遞增,錢給其他許多人。給完錢後把諸人所得的錢全部收回,再平均分派,結果每人得100錢,問人數多少?

答:195人。

唐朝和宋朝的數學家研究級數,並不是單純追求趣味性,而是實際的需要。當時的天文學家都假定日、月、星辰在天空中的運動是等加速或等減速運動,每日經行的路程是等差級數。

比如唐朝的天文學家僧一行(683—727),是世界上最早發現恆星在天上的位置會變動的天文學家。在他所著的《大衍曆》里就是利用等差級數的求和公式來計算行星的行程。

宋朝時對等差級數和高階等差級數的研究有最卓越的貢獻的該是沈括(1031—1095),他看到酒店、陶器店等把瓮、缸、瓦盆三類的東西推成長方台,底層排成一個長方形,以上的每層長闊各減少一個,因此他想要知道是否有簡單的式子可以計算。

在沈括後,宋朝的數學家在級數研究有較好成果的,該算13世紀時的楊輝。他提出了三角垛公式:

1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)=n(n+1)(n+2)÷6。

的公式,以及更複雜的公式。這些也是比費馬早三百多年的時間。級數理論和微積分學的產生有密切的關係,好像公式

如果再加上一些極限概念(中國數學家很早就有),可以很容易算出球體的體積公式,中國數學家很早就用幾何方法來推算球體的體積。在宋元的時候中國基本上具備了產生微積分的準備條件,可惜卻沒有一個人能像以後的西歐的萊布尼茲及牛頓那樣承先啟後的工作。更糟的是在明清時中國數學卻衰退起來。

分析與解例1的解決為例2提供借鑒與幫助.

(1)思路一:從特殊情形入手.

2+4=6=2×3;

2+4+6=12=3×4;

2+4+6+8=20=4×5;…

猜想:2+4+6+…+2n=n(n+1).

思路二:轉化為例1中的模式,

例4.藉助圖形的直觀性,我們可以直接得到一些有規律的算式的結果,比如:由圖①,通過對小黑點的計數,我們可以得到1+2+3+…+n=1/2n(n+1);由圖②,通過對小圓圈的計數,我們可以得到

通過問題的解決,我們感受到多層次、多角度對問題的思維方法:從特殊到一般,從抽象到具體,從數到形.我們經歷了提出問題並解決問題的過程:從連續自然數之和到連續偶數(奇數)之和,從低次到高次。

個別的看、重複的看、想像的看、一般的看,數學歸納推理是通過觀察和組合特殊事例來發現普遍規律的過程。數學的許多結果是"看"出來的,所謂看就是一種直觀判斷。

參考文獻:

林開亮,高斯算1+2+3+… +100談起